Простое число — — натуральное число, у которого только два делителя: единица и само это число.
Составное число — — натуральное число, у которого больше двух делителей.
У числа 1 только один делитель, поэтому оно ни простое, ни составное.
Вот первые десять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Число 2 — наименьшее простое число. Оно единственное чётное простое число, все остальные простые числа нечётные.
Разложение на множители
Число 90 — составное: оно делится не только на 1 и 90, но и, например, на 5: 90 = 5 · 18. Говорят, что число 90 разложено на множители 5 и 18.
Любое составное число можно разложить на множители, каждый из которых больше 1. А простое число так разложить нельзя.
Число 770 = 77 · 10. Но 77 и 10 тоже составные: 77 = 7 · 11 и 10 = 2 · 5. Получим 770 = 7 · 11 · 2 · 5 — теперь все множители простые.
Можно начать и по-другому: 770 = 70 · 11 = 7 · 10 · 11 = 7 · 2 · 5 · 11. Множители те же, только в другом порядке. Обычно их записывают по возрастанию: 770 = 2 · 5 · 7 · 11.
Разложение числа на простые множители — — представление числа в виде произведения его простых делителей.
Любое составное число можно разложить на простые множители. Разные разложения одного числа отличаются только порядком множителей.
Разложение с вертикальной чертой
Разложим число 660. Проведём вертикальную черту и слева запишем 660. Справа будем записывать делители, а под числом — частные. Помогают признаки делимости.
- 660 оканчивается чётной цифрой, делится на 2: 660 : 2 = 330.
- 330 тоже делится на 2: 330 : 2 = 165.
- У 165 сумма цифр 12 делится на 3, значит, делим на 3: 165 : 3 = 55.
- 55 оканчивается цифрой 5, делится на 5: 55 : 5 = 11.
- 11 — простое число, делим само на себя: 11 : 11 = 1. Разложение закончено.
| Число | Делитель |
|---|---|
| 660 | 2 |
| 330 | 2 |
| 165 | 3 |
| 55 | 5 |
| 11 | 11 |
| 1 | — |
Перемножаем всё, что справа от черты: 660 = 2 · 2 · 3 · 5 · 11.
Контрпример
Контрпример — — пример, который опровергает утверждение. Одного контрпримера достаточно, чтобы доказать, что утверждение неверно.
«Все чётные числа составные» — неверно: 2 чётное, но простое.
«Сумма двух простых чисел — простое число» — неверно: 3 + 5 = 8, а 8 составное.
Частые ошибки: остановиться на составном множителе (90 = 5 · 18 — ещё не разложение на простые: 18 = 2 · 3 · 3, значит, 90 = 2 · 3 · 3 · 5); считать 1 простым числом; потерять множитель — проверь, перемножив всё обратно.
Проверь себя
Какие натуральные числа называют простыми, а какие — составными?
Простые имеют только два делителя: 1 и само число. Составные — больше двух делителей.
Какое простое число наименьшее?
2.
Какое натуральное число не является ни простым, ни составным?
1: у него только один делитель.
Назови простые числа, меньшие 20.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Что называют разложением числа на простые множители?
Представление числа в виде произведения его простых делителей.
Все ли составные числа можно разложить на простые множители?
Да, любое составное число. Разложения отличаются только порядком множителей.