Задача про костюмы
В детском саду к празднику 18 детей нарядили зайчиками и 24 — белочками. На какое наибольшее число групп можно разбить детей для танца, чтобы в каждой группе было одинаковое количество «зайчиков» и «белочек»?
И 18, и 24 должны делиться на число групп. Выпишем делители этих чисел:
- Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Общие делители — 1, 2, 3, 6. Самый большой из них — 6.
Ответ: 6 групп. В каждой группе 3 «зайчика» (18 : 6 = 3) и 4 «белочки» (24 : 6 = 4).
Наибольший общий делитель (НОД) — нескольких чисел — наибольшее натуральное число, на которое делятся эти числа без остатка.
Записывают так: НОД (18, 24) = 6.
Взаимно простые числа
Найдём НОД чисел 21 и 40.
Делители 21: 1, 3, 7, 21.
Делители 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Общий делитель только один — 1.
Взаимно простые числа — натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1.
Взаимно простыми могут быть и составные числа: 8 = 2 · 2 · 2 и 9 = 3 · 3 — общих простых множителей нет, НОД (8, 9) = 1.
НОД через простые множители
Выписывать все делители долго. Разложим 18 и 24 на простые множители и подчеркнём множители, которые входят в оба разложения:
18 = 2 · 3 · 3
24 = 2 · 2 · 2 · 3
Общие множители — 2 и 3. Их произведение: 2 · 3 = 6. НОД (18, 24) = 6.
Чтобы найти НОД нескольких чисел:
1) разложить числа на простые множители;
2) подчеркнуть общие множители в каждом разложении;
3) найти произведение общих множителей.
Ещё пример: НОД (36, 48)
- Раскладываем: 36 = 2 · 2 · 3 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3.
- Двоек в 36 — две, в 48 — четыре. Общих двоек — две.
- Троек в 36 — две, в 48 — одна. Общая тройка — одна.
- Перемножаем: 2 · 2 · 3 = 12.
Особый случай
Если все числа делятся на одно из них, то НОД равен этому числу.
Например, НОД (14, 42, 84, 140) = 14: 42, 84 и 140 делятся на 14.
| Числа | Разложения | НОД |
|---|---|---|
| 42 и 63 | 2 · 3 · 7 и 3 · 3 · 7 | 21 |
| 45 и 60 | 3 · 3 · 5 и 2 · 2 · 3 · 5 | 15 |
| 21 и 84 | 84 делится на 21 | 21 |
| 35 и 39 | 5 · 7 и 3 · 13 | 1 |
Задача. Из 84 помидоров и 112 огурцов сделали одинаковые наборы. Какое наибольшее число наборов получилось?
Число наборов делит и 84, и 112: НОД (84, 112) = 28. В каждом наборе 3 помидора и 4 огурца.
Частые ошибки: путать НОД и НОК (НОД не больше меньшего из чисел, НОК не меньше большего); брать общий множитель больше раз, чем он есть в одном из разложений; думать, что взаимно простыми бывают только простые числа.
Проверь себя
Что такое наибольший общий делитель натуральных чисел?
Наибольшее натуральное число, на которое делятся эти числа без остатка.
Какие числа называют взаимно простыми? Приведи пример.
Те, у которых НОД равен 1. Например, 8 и 9 или 21 и 40.
Чему равен НОД взаимно простых чисел?
1.
Расскажи алгоритм нахождения НОД нескольких чисел.
Разложить на простые множители → подчеркнуть общие множители → перемножить их.
Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?
Меньшему из них: НОД (27, 81) = 27.