Задача про пирожки
Дима покупал пирожки с яблоками по 45 р., а Витя — с мясом по 60 р. Какую наименьшую сумму должен заплатить каждый мальчик, чтобы расходы ребят были одинаковыми?
Сумма должна делиться без остатка и на 45, и на 60, то есть быть кратной и 45, и 60. Выпишем кратные этих чисел:
- Кратные 45: 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, …
- Кратные 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, …
Общие кратные чисел 45 и 60 — это 180, 360, … Наименьшее из них — 180.
Ответ: 180 р. На эти деньги Дима купил 4 пирожка (180 : 45 = 4), а Витя — 3 пирожка (180 : 60 = 3).
Наименьшее общее кратное (НОК) — нескольких натуральных чисел — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.
Записывают так: НОК (45, 60) = 180.
НОК через простые множители
Выписывать кратные долго. Найдём НОК (45, 60) по-другому. Разложим числа на простые множители:
45 = 3 · 3 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 5
Выпишем все множители большего числа: 2 · 2 · 3 · 5. Чтобы произведение делилось и на 45, добавим недостающий множитель: в 45 две тройки, а у нас пока одна. Добавляем ещё 3:
2 · 2 · 3 · 5 · 3 = 180.
Чтобы найти НОК нескольких чисел:
1) разложить числа на простые множители;
2) выписать множители из разложения большего числа;
3) добавить недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение этих множителей.
Ещё пример: НОК (108, 132)
- Раскладываем: 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3, 132 = 2 · 2 · 3 · 11.
- Большее число — 132. Выписываем его множители: 2 · 2 · 3 · 11.
- В 108 три тройки, а у нас одна. Добавляем ещё 3 · 3.
- Перемножаем: 2 · 2 · 3 · 11 · 3 · 3 = 1188.
Особый случай
Если одно из чисел делится на все остальные, то НОК равно этому числу.
Например, НОК (8, 16, 40, 80) = 80: 80 делится на 8, 16 и 40.
| Числа | Разложения | НОК |
|---|---|---|
| 12 и 8 | 2 · 2 · 3 и 2 · 2 · 2 | 24 |
| 14 и 42 | 42 делится на 14 | 42 |
| 90 и 315 | 2 · 3 · 3 · 5 и 3 · 3 · 5 · 7 | 630 |
| 28 и 35 | 2 · 2 · 7 и 5 · 7 | 140 |
Задача. Миша бегает на стадионе раз в 3 дня, а Лена — раз в 4 дня. Сегодня они встретились. Через сколько дней снова встретятся?
Число дней должно делиться и на 3, и на 4: НОК (3, 4) = 12. Ответ: через 12 дней.
Частые ошибки: путать НОК и НОД (НОК не меньше большего из чисел, НОД не больше меньшего); добавить лишние множители, которые уже есть в разложении большего числа; забыть, что множитель может повторяться: в 45 = 3 · 3 · 5 две тройки.
Проверь себя
Что такое наименьшее общее кратное натуральных чисел?
Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.
Какое число является наименьшим общим кратным чисел 3, 9, 27?
27: оно делится на 3 и на 9.
Расскажи алгоритм нахождения НОК нескольких чисел.
Разложить на простые множители → выписать множители большего числа → добавить недостающие из остальных → перемножить.
Найди НОК (120, 150).
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, 150 = 2 · 3 · 5 · 5. НОК = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 600.
Найди НОК (200, 300).
600.