Три друга собирали ракушки на пляже: Миша нашёл 6, Оля — 11, а Петя — 7. Ракушки решили поделить поровну. Всего их 6 + 11 + 7 = 24, значит, каждому достанется 24 : 3 = 8 ракушек.
Число 8 — это и есть среднее арифметическое чисел 6, 11 и 7: столько получил бы каждый, если бы все нашли одинаково.
Среднее арифметическое — нескольких чисел — это частное от деления их суммы на количество этих чисел.
Как найти среднее
- Сложи все числа: 6 + 11 + 7 = 24.
- Посчитай, сколько всего чисел: их 3.
- Раздели сумму на количество: 24 : 3 = 8.
Среднее арифметическое = сумма чисел : количество чисел.
Средняя скорость
Велосипедист ехал 2 ч со скоростью 12 км/ч, а потом 3 ч со скоростью 17 км/ч. С какой постоянной скоростью нужно ехать, чтобы проехать тот же путь за то же время?
Весь путь: 12 · 2 + 17 · 3 = 24 + 51 = 75 км. Всё время: 2 + 3 = 5 ч. Значит, 75 : 5 = 15 км/ч.
Средняя скорость — это весь пройденный путь, делённый на всё время движения.
Получилось то же самое, что среднее арифметическое скоростей за каждый час: два часа по 12 и три часа по 17 км/ч.
(12 + 12 + 17 + 17 + 17) : 5 = 75 : 5 = 15 км/ч.
Нельзя просто сложить две скорости и разделить на 2: (12 + 17) : 2 = 14,5 км/ч — неверно. На скорости 17 км/ч велосипедист ехал дольше, поэтому она «весит» больше.
Зачем нужны средние
Средние помогают описать много чисел одним и сравнивать их. Средний балл класса за четверть, средняя урожайность поля, среднее время на дорогу до школы — всё это средние арифметические.
Например, если средняя температура июня 17,4 °C, а июля 19,2 °C, значит, июль в целом был теплее, хотя в отдельные дни июня могло быть жарче.
Среднее в таблице
| День | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт |
|---|---|---|---|---|---|
| Температура | 12 | 15 | 9 | 14 | 10 |
Сумма: 12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60. Дней пять, поэтому средняя температура 60 : 5 = 12 градусов. В какой-то день было теплее, в какой-то холоднее, а в среднем — 12.
Обратная задача
Сумма чисел = среднее арифметическое · количество чисел.
Среднее арифметическое двух чисел равно 6,5. Одно из них — 8. Найдём другое. Сумма двух чисел: 6,5 · 2 = 13. Другое число: 13 − 8 = 5.
Так же находят пропущенное число среди многих: среднее четырёх чисел равно 7, три из них — 5, 9 и 6. Сумма всех: 7 · 4 = 28, известных: 5 + 9 + 6 = 20, четвёртое: 28 − 20 = 8.
Среднее на координатной прямой
Отметь на прямой числа 4 и 12. Их среднее арифметическое (4 + 12) : 2 = 8 стоит ровно посередине: от 4 до 8 четыре единицы и от 8 до 12 тоже четыре.
Среднее двух чисел — середина отрезка между ними. А среднее нескольких чисел всегда лежит между наименьшим и наибольшим из них.
Частые ошибки: разделить не на то количество (пересчитай числа!); забыть про нули — 0 тоже число, его считают; усреднять скорости, не учитывая время. Если среднее получилось больше самого большого числа или меньше самого маленького — ищи ошибку.
Проверь себя
Трое ребят собрали 10, 12 и 14 кг яблок и поделили их поровну. Сколько досталось каждому?
(10 + 12 + 14) : 3 = 36 : 3 = 12 кг — это среднее арифметическое.
Чему равно среднее чисел 0, 6 и 9?
(0 + 6 + 9) : 3 = 5. Ноль тоже считается, делим на 3.
Машина ехала 1 ч со скоростью 60 км/ч и 2 ч со скоростью 90 км/ч. Какова средняя скорость?
Путь: 60 + 90 · 2 = 240 км, время: 3 ч. 240 : 3 = 80 км/ч, а не (60 + 90) : 2 = 75.
Среднее двух чисел равно 4,5, одно из них — 3. Найди другое.
Сумма: 4,5 · 2 = 9. Другое число: 9 − 3 = 6.
Может ли среднее чисел 3, 5 и 8 быть равно 9?
Нет: среднее не бывает больше самого большого числа (8). На самом деле оно равно 16 : 3 — между 3 и 8.